Поиск в базе сайта:
Функциональный анализ icon

Функциональный анализ




Скачать 24.98 Kb.
НазваниеФункциональный анализ
Дата конвертации14.12.2012
Вес24.98 Kb.
КатегорияПримерная программа

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ


Лектор: А.Г.Сергеев Преподаватель: А.Ю.Пирковский

В курсе излагаются основы функционального анализа в гильбертовых и банаховых пространствах. Его кульминацией является спектральная теорема для ограниченных и неограниченных операторов. Основной упор сделан на тех вопросах, которые необходимы для приложений функционального анализа в математической физике и некоммутативной геометрии. Желательно знакомство с теорией меры (достаточно знакомства с главой V из книги Колмогорова и Фомина).

Примерная программа курса:


  1. ^ ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

    1. Евклидовы пространства (ортогональные системы, теорема Пифагора и неравенство Бесселя, неравенство Коши-Буняковского).

    2. Гильбертовы пространства (ортогональное дополнение и теорема о проекции, сопряженное пространство и теорема Рисса).

    3. Базисы в гильбертовых пространствах (теорема о существовании ортонормированного базиса, равенство Парсеваля, ортогонализация Гильберта-Шмидта, сепарабельнве гильбертовы пространства).

    4. Тензорные произведения гильбертовых пространств (фоковское пространство).

  2. ^ БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

    1. Примеры (пространства интегрируемых функций, пространства последовательностей).

    2. Сопряженное пространство (второе сопряженное пространство, рефлексивность).

    3. Основные теоремы (теорема Хана-Банаха, теоремы об открытом и обратном отображении, теорема о замкнутом графике, теорема Стоуна-Вейерштрасса, слабая компактность единичного шара в сопряженном пространстве).

  3. ^ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

    1. Топологии в пространствах линейных операторов (слабая сходимость ограниченных операторов).

    2. Сопряженный оператор (самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, ортогональные проекторы).

    3. Спектр оператора (классификация, резольвента, аналитическте функции от

операторов, спектральный радиус, спектр самосопряженного оператора).

    1. Полярное разложение (положительные операторы и квадратные корни, частично изометрические операторы).

    2. Компактные операторы (сходимость компактных операторов, аналитическая

теорема Фредгольма, теорема Рисса-Шаудера).

    1. Идеалы в алгебре компактных операторов (ядерные операторы, операторы

Гильберта-Шмидта).

  1. ^ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.

    1. Функциональное исчисление и спектральные меры (функциональное

исчисление ограниченных самосопряженных операторов, циклические

векторы).

    1. Спектральная теорема (классификация спектров, операторы с простым

спектром, спектральная теорема о кратности).

    1. Спектральные проекторы (проекторнозначные меры, существенный и

дискретный спектры).

  1. ^ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

    1. Основные определения ( график, замыкание, расширение)

    2. Сопряженный оператор и резольвента (симметрические и самосопряженные операторы, критерий самосопряженности).

    3. Спектральная теорема (в терминах оператора умножения, фукнционального исчисления и проекторнозначных мер).

    4. Полугруппы операторов (экспонента от самосопряженного оператора, теорема Стоуна, теорема фон Неймана, канонические коммутационные соотношения).

    5. Другие свойства неограниченных операторов (квадратичные формы и самосопряженные операторы, сходимость неограниченных операторов и спектр предельного оператора, формула Троттера, полярное разложение, тензорное произведение, приложения в квантовой механике).

Похожие:




©fs.nashaucheba.ru НашаУчеба.РУ
При копировании материала укажите ссылку.
свазаться с администрацией