Поиск в базе сайта:
Метод неопределенных коэффициентов построения формул численного интегрирования icon

Метод неопределенных коэффициентов построения формул численного интегрирования




Скачать 35.46 Kb.
НазваниеМетод неопределенных коэффициентов построения формул численного интегрирования
Дата конвертации09.02.2013
Вес35.46 Kb.
КатегорияТексты

Метод неопределенных коэффициентов построения формул численного интегрирования


Пусть требуется найти значение I интеграла Римана для некоторой заданной на отрезке [ab] функции ƒ(x).

Зафиксируем некоторый набор узлов {x0x1, … , xn}, обозначим fi = (xi), . Для приближенного вычисления значения I построим формулу вида




.

(1)

Говорят, что формула (1) точна для функции (x), если значение, вычисленное по формуле (1), совпадает с точным, то есть

.

Если формула (1) точна для любого многочлена степени не выше m, то говорят, что формула (1) алгебраически точна с порядком m. Алгебраический порядок точности численного метода – наибольшая степень многочлена, для которой численный метод даёт точное решение задачи.

Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов построения формулы (1) численного дифференцирования. Неизвестные коэффициенты ci выбираются так, чтобы формула (1) имела максимально высокий алгебраический порядок точности.

Пусть (x) = Pm(x) и построим условия, при которых формула (1) точна.

Сначала вычислим



Вычислим теперь по формуле (1).



Поскольку полученные выражения должны быть равны для любого многочлена (то есть для любого набора коэффициентов ai), то приравниваем выражения при соответствующих ai, . Имеем




.

(2)


Получили систему линейных уравнений относительно неизвестных ci, . Если m = n, то определитель этой системы – это определитель Вандермонда. Если все xi попарно различны, то этот определитель отличен от нуля, и, значит, система имеет единственное решение. Таким образом, по n+1 узлам всегда можно построить формулу, которая точна с порядком n. Иногда за счёт выбора узлов удаётся построить формулу, порядок точности которой выше.

Заметим, что систему (2) можно получить другим способом. Чтобы формула (1) была точна для многочлена xi, очевидно, должно выполняться равенство

.

В этом случае, разумеется, формула будет точна также и для любого многочлена вида ai xi. Если формула точна для многочленов P(x) и Q(x), то в силу свойств интеграла формула будет точна и для многочлена P(x) + Q(x). Поэтому чтобы формула была точна для многочленов степени m, полученные равенства должны выполняться для всех . То есть снова имеем систему (2).

Второй способ рассуждений удобен при определении порядка точности формулы. А именно: сначала составляем систему (2) при m = n и находим из неё ci, . Затем полученную формулу применяем для вычисления интеграла от многочленов xn+1, xn+2, и так далее, пока формула будет оставаться точной.


Пример

Для трёх равноотстоящих узлов построить формулу численного интегрирования методом неопределенных коэффициентов.

Зафиксируем узлы x0x1 x0 hx2 x1 h, обозначим fi = (xi), . Будем строить формулу вида

.

Согласно проведенным выше рассуждениям можно построить формулу, точную для многочленов до второго порядка включительно. Имеем

Степень

I



0





1





2






Приравнивая выражения для I и , получаем систему




Учитывая, что a = x0, b = x2, после упрощений получаем

.

Подставляем найденные значения в формулу для :

.

Нетрудно узнать в полученном выражении формулу Симпсона (парабол).

Установим порядок полученной формулы. Для этого рассмотрим многочлены более высоких степеней.

Для многочленов третьей степени имеем:

,



Получили равные выражения, значит, формула точна для многочленов третьей степени.

Для многочленов четвёртой степени имеем:

,



Таким образом, для многочленов четвёртой степени формула точной не является.

Следовательно, формула точна с порядком 3.

Похожие:




©fs.nashaucheba.ru НашаУчеба.РУ
При копировании материала укажите ссылку.
свазаться с администрацией