Поиск в базе сайта:
Моделирование эмс с применением определителя Вандермонда Математическое моделирование в пространстве состояний icon

Моделирование эмс с применением определителя Вандермонда Математическое моделирование в пространстве состояний




НазваниеМоделирование эмс с применением определителя Вандермонда Математическое моделирование в пространстве состояний
Дата конвертации06.03.2013
Вес445 b.
КатегорияРешение


Моделирование ЭМС с применением определителя Вандермонда


Математическое моделирование в пространстве состояний

  • При математическом моделировании систем управления, электромеханических, энергетических и других технических систем, наибольшее внимание уделяется моделям, которые отражали бы переходные процессы в системе. В современной теории управления широкое применение получили модели пространства состояний.



Свойства динамической системы, описываемые моделями пространства состояний во многом определяются свойствами матрицы состояний (параметров) А.

  • Свойства динамической системы, описываемые моделями пространства состояний во многом определяются свойствами матрицы состояний (параметров) А.

  • Для перехода к основным понятиям, связанным с матрицей состояния, рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с нулевыми начальными условиями х(0) и константой а:



Решение уравнения

  • В общем виде решение уравнения

  • получают разделяя переменные и осуществив интегрирование в определенных пределах в следующем виде:



Для автономного стационарного объекта процессы описываются матричным уравнением состояния вида:

  • Для автономного стационарного объекта процессы описываются матричным уравнением состояния вида:



где X(0) – вектор начальных условий.

  • где X(0) – вектор начальных условий.

  • Матричную функцию Ф(t) = eAt называют фундаментальной или переходной матрицей системы. Тогда решение можно записать в виде:



Для систем с одним входом и одним выходом уравнения состояния и наблюдения определяются выражениями

  • решение, которых записывают в виде суммы составляющих:

  • X(t) = Ф(t)·X(0) + F(t), (1)

  • Y(t) = C Ф(t)·X(0) +G(t), (2)



Анализ решения

  • Здесь первые составляющие есть собственное решение системы (свободные составляющие), а вторые составляющие – вынужденные решения, обусловленные действием входного воздействия.

  • Как следует из уравнений (1 - 2), фундаментальная матрица и ее вычисление является ключом к нахождению временных характеристик. Существуют различные подходы для ее вычислений.



Определитель Вандермонда

  • К ним относится метод получение матричной функции eAt, основанный на теореме разложения функции от матрицы, а именно разложение фундаментальной матрицы в ряд:



где D – определитель Вандермонда:

  • где D – определитель Вандермонда:



Характеристическое уравнение

  • Свойства автономной динамической системы, представленной матричными дифференциальными уравнениями состояния, определяются характеристическим уравнением

  • корни которого совпадают с собственными значениями матрицы А.



их определяют из выражения



Временные характеристики

  • Временные характеристики системы F(t) и G(t) определяют как реакцию системы на управляющее воздействие в виде единичной функции или единичного импульса при нулевых начальных условиях, т. е. Х(0) = 0.

  • При единичном ступенчатом воздействии, их находят в виде:



F(t) = (eAtI)A-1B; G(t) = C (eAt – I)A-1B+D



Анализ динамики RLC-ФНЧ 2-го порядка методом Вандермонда

  • Воспользуемся методом Вандермонда для решения системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы в схеме коммутации ФНЧ 2-го порядка при подключении его к источнику постоянного напряжения



Схема коммутации ФНЧ 2-го порядка



СДУ, описывающая процессы в фильтре



Матричная форма СДУ



Характеристическое уравнение



Рассмотрим случай комплексно сопряженных корней



Запишем полный и частные определители Вандермонда.





Определим детерминанты определителей





Находим отношение детерминантов определителей



Запишем матричную функцию



Вывод

  • Решение, полученное с помощью метода определителей Вандермонда, полностью совпадает с решениями, найденными классическим и операторным методами.

  • Прошу провести самостоятельную проверку. Проведите выводы уравнений!?



Математическое моделирование электродвигателя постоянного тока в пространстве состояний

  • Двигатель постоянного тока при определенных соотношениях постоянных времени TM и TЭМ можно представить, как исполнительный элемент системы, в виде колебательного звена. Для такого звена схема замещения имеет следующий вид:



Схема замещения



Уравнения состояний для данной схемы можно записать в виде:



где в соответствии со второй системой электромеханических аналогий уравнений Лагранжа - Максвелла напряжение на емкостном элементе аналогично скорости движения координаты механизма, а ток моменту (силе при линейном перемещении).

  • где в соответствии со второй системой электромеханических аналогий уравнений Лагранжа - Максвелла напряжение на емкостном элементе аналогично скорости движения координаты механизма, а ток моменту (силе при линейном перемещении).

  • Тогда решение данной системы уравнений с использованием системы MathGAD можно представить следующим образом.



Исходные данные:



Определение корней характеристического уравнения с использованием символьных преобразований и встроенной функции polyroots математической системы MathGAD

  • Определение корней характеристического уравнения с использованием символьных преобразований и встроенной функции polyroots математической системы MathGAD



Формируем определители Вандермонда, его производных и составляющих матричной функции eAt:







Определяем матричную функцию



Определяем временные характеристик iL(t) и uC(t):





Переходные характеристики двигателя постоянного тока



Похожие:




©fs.nashaucheba.ru НашаУчеба.РУ
При копировании материала укажите ссылку.
свазаться с администрацией